Navier-Stokes方程——物理学中最难的方程式

  • A+
所属分类:学霸天地

摘 要

对量子力学做出巨大贡献的物理学家维尔纳·海森堡曾经说过:“当我见到上帝时,我想问他两个问题:为什么会有相对论?为什么会有湍流?我相信他一定会有第一个问题的答案。”

这个故事虽然很可能是杜撰的,却描述了大多数科学家对湍流的感觉。

物理学中最难的方程式 | Navier-Stokes方程

Navier-Stokes方程仅仅描述了一些类似水从水管中流出的简单自然现象,却斩获了一百万奖金。小至一个光子的收缩震动,大至宇宙空间运行的规律,都包含在物理等式中。然而,只有描述流体流动的Navier-Stokes方程,因其数学难度成为克雷数学研究所的七个“千禧年大奖难题”之一,并获得一百万奖金。为什么这个描述水流过水管这样简单现象的方程,其数学内涵却比爱因斯坦描述黑洞的场方程还要复杂?

物理学中最难的方程式 | Navier-Stokes方程

答案是湍流。

湍流是指一个有序流动的流体变化成看似不可预知的漩涡,例如看着浴缸里的水在排水口形成了一个涡旋,烟头升起的青烟在空气中扩散,河流绕着石头流动,牛奶和咖啡的混合等等,生活中有许多熟悉的现象都与湍流有关。然而熟悉并不意味着认知:湍流是物理界最难理解的一个问题之一。

物理学中最难的方程式 | Navier-Stokes方程

河流是一个典型非湍流的例子:河流里所有的部分都以相同的速度向一个方向流去。如果是湍流,这种平衡就会被打破,比如河流里不同的部分都以不同的速度流向不同的方向。

物理学家是如何描述湍流的形式呢?他们假设在一个平缓流动的河面上形成了一个漩涡,这个漩涡里又再次形成了漩涡,这些二次形成的漩涡里又形成更小的漩涡,所有的这些漩涡一路向下涡旋,这个最初的平缓的流体就被打碎成了一些彼此独立的部分,这些部分又在运动中相互作用,即成湍流。

物理学中最难的方程式 | Navier-Stokes方程

研究人员想要破解平缓的流体变成湍流的规律,并且做出模型模拟从湍流刚形成到后期的走势变化。但是“千禧年大奖难题”要求解决更基础的问题:方程的解是不是存在?这个方程能不能长久地适用于任何条件下的任一种流体?

普林斯顿的数学家Charlie Fefferman评价:“第一步比较简单,我们只需要证明这个方程有解。这并不能让我们了解流体运动的本质,但如果没有这个方程,我们将一无所知。”

我们如何证明这个方程有解?可以从反证法入手,思考无解的情况。Navier-Stokes方程需要计算速度和压力的差分。数学家们担心存在这种情况:你计算这个方程一段时间后,突然发现这个流体中存在一个粒子以无穷快的速度在移动。无穷的情况下无法计算差分就像0不能作为被除数一样。数学家们把这种现象称作“blowup”,出现了“blowup”的方程,我们可以认为它是无效的且无解。

证明“blowup”不会发生(解存在),等于证明流体中任一粒子运动速度的最大值都是有限值。所涉及的量中流体的动能是最重要的。

当你开始用Navier-Stokes方程模拟一个流体的过程时,流体本身应具有初始的动能。但是在湍流中,这个初始动能会被集中。在正常流动的河流中,这个动能是均匀分布的,但是在湍流中,就可能被集中在某个小漩涡里,漩涡中的粒子速度就可能被加速到无穷大。

物理学中最难的方程式 | Navier-Stokes方程

普林斯顿的数学家Vlad Vicol 表示:“我们探究的尺度越小,动能对解的控制作用越小。我的解可以做任何想做的事情,我也不知如何控制它”。

根据在无限小的尺度上失效的范围,数学家们对像Navier-Stokes方程这样的偏微分方程进行分类,Navier-Stokes方程被放在了这个范围的终端。某种程度上这个方程的数学难度在于准确描述湍流的复杂性。

Vicol说:“从数学的角度来说,当你把一个点放大时,你就失去了与这个点相关的解的信息。但湍流描述的却恰巧相反,动能的尺度被越来越缩小,我们需要做的正是把这个动能的点放大。”

无论什么时候我们从物理的角度去讨论数学方程,我们都会产生这样的疑问:这会不会改变我们对物理界的认知?从Navier-Stokes方程和千禧年大奖难题来看,这个问题没有定论。通过将近200年的实验,我们可以发现Navier-Stokes方程预测的流体流动规律与实验得到的结果是一致的。对于一个物理学家来说,这样的一致就足够了。但数学家们却不止于此,他们希望能通过方程,了解任意初始状态下流体的瞬息变化,甚至能捕捉到湍流开始的点。

Fefferman说:“流体的运动带给我们许多惊喜。理论上来说这些惊喜是由那些描述流体运动的方程来表征的,但是实际上这些方程所描述的流体运动与实际的流体运动之间,依然存在非常值得探索的深度。”

始发于微信公众号:知社学术圈

发表评论

:?: :razz: :sad: :evil: :!: :smile: :oops: :grin: :eek: :shock: :???: :cool: :lol: :mad: :twisted: :roll: :wink: :idea: :arrow: :neutral: :cry: :mrgreen: