如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!

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某中国大学生发现的反例

 

用f(n)表示可以用1和任意多个加号和乘号括号表示出n所用1的最小的个数

 

如4=(1+1) ×(1+1),所以f(4)≤4,进一步可以知道f(4)=4进一步再来求出:

 

如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!

可见f(n)的增长很慢……

 

是否有f(p)=f(p-1)+1,对p为某些数,如素数? 不难验证对p=2,3,5,7,11均成立,事实上,对于10万以内的素数其均成立 。

 

猜想:对p为素数, f(p)=f(p-1)+1

 

反例:p = 353942783,f(p) = 1 + f(p-1) 不成立

 

素数生成公式(某常见编程题)

 

1772 年,Euler 曾经发现,当 n 是正整数时,n⊃2;+n+41似乎总是素数。事实上,n 从 1 一直取到 39,算出来的结果分别是:

43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

 

猜想: n 是正整数时,如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!均是素数

 

反例:n = 40 时,如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!为合数

 

注:有没有可能有一个整系数多项式P(n),使得n为正整数时,P(n)均为素数呢?

先思考一下……

 

例子:如果P(n)为常值多项式,那么P就有可能满足要求,如P(n)=3那么有没有非平凡的例子呢,答案是没有,素数的分布结构哪有那么简单。

 

证:假设这样的一个多项式P(n)存在。那么P(1)将是一个素数p ;

由于P整系数,故P(1+kp)≡P(1)(modp),对k为正整数;

所以 P(1+kp)是p的倍数,又是素数,只能是p,所以P(x)=p有无穷多个根,与代数基本定理矛盾!

 

对于Euler所见的那种多项式也是很稀有的,事实上,若整系数多项式如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!对n=0,1,……,k-2均为素数,其中k不小于2(取n=0,可以知道k必须是素数)

 

其成立等价于这个二次函数的判别式的绝对值如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!为Heegner number

 

 

但是Heegner number 由Stark–Heegner theorem 有且仅有9个:1,2,37,11,19,43,67,163

 

所以k只能取2,3,5,11,17,41

 

也就是说只有 n²+n+k,k=2,3,5,11,17,41才能对n=0,1,……,k-2均取值为素数。

 

 

Mertens conjecture


定义域为自然数的莫比乌斯函数μ定义为μ(1) = 1

 

μ(n) = 1 if n 不含平方因子且含偶数个素数因子

μ(n) = −1 if n 不含平方因子且含奇数个素数因子

μ(n) = 0 if n 含质因子的次数超过2次,即含平方因子(如2^2,3^4,5^2等)

 

举个例子,其部分取值如下:

 

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μ为什么要这么定义的原因是为了让函数1有一个卷积逆,这里的卷积定义与积分定义的卷积不同,由此可导出莫比乌斯反演定理。

 

定义

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称为 Mertens函数

 

1897年Mertens猜想:

 

对所有>1的自然数n有

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如果令

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那么猜想就是说m(n)的绝对值不超过1

 

这个猜想不难验证在n<100时成立,事实上,在n小于10亿内的范围,这个猜想还是成立的!

 

于是大家对这个猜想还是抱有很大信心的……

 

如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!反例:

 

1985年 Andrew Odlyzko 与 Herman te Riele共同推翻了这个猜想

 

事实上他们证明了

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1987年Pintz证明了第一个反例对应的n出现在如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!之前

(Kotnik和Te Riele在2006年把上界降到了如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!)

 

2004年 Kotnik和Van de Lune 证明了第一个反例对应的n出现在10^14之后

 

不过目前具体的能给出最大的m(n)为n=7766842813时,此时 M(7766842813) = 50286

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注:

可能有人会有疑问,你给不出具体的反例算什么,哪里推翻了猜想啊……

 

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有些时候,我们做估计往往是对于整体做的估计,比如证明著名的Bertrand假设:

(见数学天书中的证明,Page 7)

 

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一个关键的估计不等式在于:

 

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反证这样的素数不存在,会吃掉最后一个乘积,而第一,二个乘积可以有很好的上界:

 

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那么

 

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而这个不等式对于较大的n是不成立的,于是导出了矛盾!

(如n>4000,再对n<4000直接验证定理即可)

 

证明需要依赖一些整体性的计数类的结果,或者利用筛法估计

 

也就是我们在证明过程中可能利用整体的信息而丢掉了个体的信息,所以我们无法从正确的证明中获得反例,但这绝对不意味着没有反例或者证明错误。

 

再举一个例子,就是Lebesgue和Riemman积分,都忽略了被积函数在单点的信息,而提取出整体的信息

 

比如如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!,那么我一定可以知道有一点x在[0,1]之间使得如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!

 

但你要问我是哪个点,我可以说无可奉告

 

Prime race(素数竞赛)

 

如果取出不大于n的所有不等于3的素数,按照它们除以3的余数来分成两组,

 

一组叫做Team 1,1组的素数除以3的余数是1,如7,13

一组叫做Team 2,2组的素数除以3的余数是2,如2,5,11

 

如下图:

 

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我们可以感觉到当n固定时,似乎1组的素数总比2组少

 

如n=3时,只有2组有一个成员 2

如n=8时,2组成员有两个,比1组多

如n=60时

Team1:7,13,31,37,43,只有5个成员

Team2:2,5,11,17,23,29,41,47,53,59,有10个成员

 

当n不断增加的时候,两组分别的素数个数的增长就和跑步比赛一样,不断增加,不过似乎总有1组的素数比2组的素数少,就好比1总是落在2后面一样。

 

猜想:

对n为正整数,1组的素数总比2组少

 

下面有一张表,表明这个猜想对于较小的数字的正确性

 

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最小的一个反例:n=608,981,813,029 时,1组成员比2组成员多,1组超过了2组

 

由1976年由Bays 与 Hudson发现。

 

(真乃:功夫不负有心人……)

 

注:

这方面的理论基础源于John Edensor Littlewood (没错,又是他)

John Edensor Littlewood 1914发表一个对这方面问题的很好的估计的paper

 

最后有一个非常好的讨论和研究见

http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/granville1.pdf

 

组合几何中的反例

 

Borsuk's  conjecture

 

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一直讨论数论问题会让人有些疲惫。来看这么一个组合几何问题:

 

Karol Borsuk(就是那个证明了博苏克-乌拉姆定理的数学家)在1932年证明了:

 

任何一个二维欧氏空间中的球体(二维球即圆盘)可以被剖分成3部分,每一部分的直径严格小于球的直径。

 

一般地,d维欧氏空间中的球体可以被剖分成d+1个部分,每一部分的直径严格小于球的直径,对d为正整数

 

 

于是他猜想:对n为正整数,n维欧氏空间中的每一个有界集合E,是否均可以划分成n+1个子集,每一个子集的直径均严格小于E的直径?

 

已经可以证明n=2,3时是成立的

对所有的n,E为光滑凸集时,定理均成立(利用博苏克-乌拉姆定理)

 

而对于高维情形,似乎无从下手。

 

反例:

 

1993 年Gil Kalai 和 Jeff Kahn找到n= 1325时,命题不成立,对n>2014命题也不成立

 

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注:

博苏克-乌拉姆定理:

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分析学上的反例

 

 

1

 

定义如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!,x=0时取值为1

 

不难验证sinc(x)在R上无穷次可导,图像如下方红线:

 

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有公式:

 

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对于N=0,1,2,3,……,7均成立

 

事实上对于N≤40248公式均成立

 

但N>40248左边严格大于右边,结论不成立

 

注:

至于为什么,请见http://arxiv.org/pdf/1105.3943v2.pdf

其讲述了如何运用这类方法构造恒等式对n=1,……N成立,但对n>N时不成立。

 

2

 

来自《Inside Interesting Integrals》 by Paul J. Nahin.

 

利用简单的Fourier变换或者熟知的

 

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容易证明下面公式的第一个(第2,3个事实上也是对的):

 

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可能会有

猜想:

 

如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!对n为自然数。

 

继续,对n=1,2,3,4,…,10检验都成立,甚至n=30也是对的:

 

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反例:

n=31时不成立

 

数值分析给出:

 

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注:

以前在学习积分学时,就可以注意到如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!的组合在0到无穷的积分会导致各种奇怪的现象…

 

如可以作为微积分习题的两题:

 

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就是说某些参数的局部改变不会改变积分值,但是某些参数值附近稍微的改变会导致积分值突变。

 

这里有一篇关于这类积分导致某些奇异的现象的研究,是2014年的文章:

http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf

 


 

好了,讲了这么多反例,大家不要看了此贴就感觉产生了猜想一定会错的感觉,也不要产生猜想的提出缺乏逻辑思考的想法。猜想的正确与否还是要按照数学证明的基本法则来验证,不能妄下结论。

 

历史上有很多对于小数成立的猜想,后面也被证明是正确的,如费马大定理这种民科爱好品。猜想的提出,有时能推动一个数学领域的发展,这方面看,猜想即使是错的,也是有一定意义的。

 

所以结合这两点,猜想的大反例只是告诉我们不要依赖已知情况和直觉,但绝不是要我们放弃具体例子,直接上理论工具开始计算,很多已知情况其实是可以提供一些信息的,我们可以从中得到启发,虽然不是证明,但可以提供一些思路。

 

 


 

用一个简单的猜想作为结尾:


前n个自然数的倒数和记为

 

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当n足够大的时候,这个和会越来越大,最后接近无穷大(除非你相信某居士…)

我们来看

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似乎看起来这个和除了1之外不能等于其他的正整数


不妨验证一下n=4,5,6,7,8的情况
(大于8的分母还是过于复杂不宜计算)

猜想:
若n为大于1的正整数,那么

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一定不是整数

已经用计算机验证了1000到100000的数是成立的,直观上来看这个级数和越长越慢,似乎越来越难变成一个整数。

如果不是被限制,这些猜想就会成为著名的公式定理!那么这个猜想究竟成立吗?

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始发于微信公众号:超级数学建模

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