熵波:流体中的另一种波

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众所周知流体中存在声波,它的传播速度是声速。例如常温常压下,空气的声速是340m/s,水的声速是1500m/s。但是流体中还有一种波,它常常被忽视,那就是熵波。今天我们就来聊聊熵波。

 

我们以管道内的一维流动为模型(图1)进行分析。假定流体的状态方程为理想气体状态方程,忽略热传导以及壁面摩擦效应。这样,流动的控制方程组就是一维的欧拉方程组:

熵波:流体中的另一种波

式中ρ是密度,u是流速,p是压力,t是时间,x是空间坐标。式中E是总能,等于内能加上动能,即E=e+u2/2。(注:e是内能)
式中的压力p,根据理想气体状态方程,以及理想气体的内能和温度的关系,经过简单的推导,可以用内能和密度表示出来,即p=ρe(k-1),其中k是气体的比热比。

 

熵波:流体中的另一种波

管道中的一维流动。由于忽略掉了管壁的摩擦,所以密度、流速、内能的稳态值在管道中是处处相同的。

 

E的表达式E=e+u2/2,以及p的表达式p=ρe(k-1),代入(1~3),可以得到

熵波:流体中的另一种波

4~6)这三个方程含有三个未知函数,即密度ρ、速度u、内能e,方程的数量和未知函数的数量相等,因此便可以求解。

由于流体中的波动是在稳态流动上叠加的小扰动,所以我们可以进行小扰动线性化分析。具体来说,就是将每个变量都分解为稳态值和小扰动值的和:

熵波:流体中的另一种波

式中带有上划线的是稳态值,带有撇号的是小扰动值。将(7)代入(4~6),并忽略掉小扰动值的高阶项(即含有两个或更多个小扰动值相乘的项),另外也忽略掉不含小扰动值的项(因为对于不含小扰动值的项来说,无论对时间t还是对空间坐标x的导数都等于零;这是因为密度、流速、内能的稳态值在管道中是处处相同的),可以得到

熵波:流体中的另一种波

 

从这三个式子很难得到什么直观的信息,所以我们要把它们变换一下。通过一定的数学推导(主要是运用线性代数中的矩阵对角化的技巧),最终可以得到

熵波:流体中的另一种波

 

式中

熵波:流体中的另一种波

是稳态流动中的声速,而f1f2f3则是用基本的小扰动量经过一定的线性组合得到的“组合小扰动量”:

熵波:流体中的另一种波

从(11~13)式可以看出,对于管道中的一维流动来说,如果在稳态流动中产生了小扰动,则这些小扰动会形成三个波,第一个波以稳态流动的流速ū为传播速度;第二个以流速和声速的和ū+ā为传播速度;而第三个则以流速和声速的ū-ā为传播速度容易看出,第一个波是跟随着稳态流动的流体从上游往下游传播的。而第二和第三个波则是相对于稳态流动的流体声速分别向下游和上游传播的。(请参考视频1)

 

视频1  11~13)式所描述的三个波的示意图。绘制这个动画时使用的参数数值为:流速ū=50m/s,声速ā=340m/s。规定向右为正方向。因此,第一个波以50m/s的速度向右移动,第二个波以50+340=390m/s的速度向右移动,而第三个波以50-340=-290m/s向右移动,即以290m/s的速度向左移动。
第二个波和第三个波涉及到声速,显然就是声波。通过进一步的推导可以证实这一点。下面我们就来推导一下。为了简明一些,我们换一个参考系,即以稳态流动的流体为参考系。在这个参考系中,稳态流速ū等于零。这样,我们将(12)、(13)分别对时间t和空间坐标x求导,可以得到

熵波:流体中的另一种波

在(18)、(20)的两边同时乘以声速ā,得到

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将(21)与(22)相减,将(23)和(24)相加,便可消去含有对tx的混合偏导数的项:

熵波:流体中的另一种波

 

然后,将(25)和(26)相加,得到

熵波:流体中的另一种波

 

将(15)、(16)代入(27),并在等式两边同时除以2ā,得到

熵波:流体中的另一种波

 

正如前面提到的,理想气体的压力p与密度、内能的关系为p=ρe(k-1)。如果将压力也分解为稳态值和小扰动值之和:

熵波:流体中的另一种波

则容易得到压力的小扰动与密度、内能的小扰动的关系为

熵波:流体中的另一种波

最后,对比(28)和(30)可以得到

熵波:流体中的另一种波

显然这就是关于压力扰动p’的波动方程,其波速为声速ā。这说明第二个波和第三个波,即(12)、(13)两个式子所代表的波共同构成了流体中的声波。

而第一个波,即(11)式所代表的波,则跟声速没有关系,而是以稳态流动的流速传播,这就是熵波。之所以叫做熵波,是因为(14)式给出的f1等价于流体中的熵扰动。众所周知,理想气体的熵的计算公式是

熵波:流体中的另一种波

式中T是温度,R是气体常数,Cp是定压比热,满足Cp=kR/(k-1)。如果将熵也分解为稳态值和小扰动值之和:

熵波:流体中的另一种波

则利用理想气体的温度、压力和内能、密度的关系,经过简单的推导,可以得到熵的小扰动值与内能、密度的小扰动值的关系为:

熵波:流体中的另一种波

对比(34)和(14)可以看出,

熵波:流体中的另一种波

也就是说,熵的小扰动值s’f1其实只相差一个气体常数因子。所以f1等价于流体中的熵扰动。

从上面的分析可以看出,在流体中,熵波是独立于声波之外的另一种波。上面讲的内容偏重于数学方面。下面我们再从物理的角度来分析一下。我们知道,流体中的声波是声源的振动引发的。当流体中的声源振动的时候,邻近的流体质点被推动,导致密度发生轻微变化,密度的变化又引起压力的轻微变化,压力的变化又导致更远的流体质点被推动,这样依此类推,声波就传播出去了。声波传播过程中的一个重要特点是,流体的状态变化是按照绝热过程进行的。这是因为,声波传播过程中流体的状态变化过于迅速来不及换热。所以,如果不考虑粘性耗散等不可逆因素,则声波的传播过程中,流体的熵是保持不变的。所以,流体中的熵扰动是不能通过声波传播出去的,它唯一的传播途径就是随着流体本身的流动进行传播,这就是熵波
在生活和生产中的很多地方都会出现熵波的身影。生活中的一个典型例子就是沐浴花洒(图2)。当混水阀左右转动的时候(图3),引起混水阀出口的水温的变化。我们知道,对于常温常压下的液态水来说,由于其压缩性很弱,所以可以近似认为它的熵只取决于温度。因此,混水阀出口水温的变化本质上就是一种熵扰动。这种熵扰动是以水流速度往下游传播的。由于水流速度不是很快,而且混水阀下游的管路较长(图4),所以这种扰动需要经过一定的延时才能到达花洒。相信读者在洗澡的时候一定体会过这一点。
 

熵波:流体中的另一种波

2  沐浴花洒

 

熵波:流体中的另一种波

3  左右转动混水阀,调节出水温度。

 

熵波:流体中的另一种波

混水阀下游的管路

 

熵波在工程上也是很常见的。在涉及燃烧的装置上,经常会遇到熵波的问题[1-4]。一个例子是补燃液体火箭发动机的燃气管道中的熵波。图5是俄罗斯RD-191液氧/煤油补燃液体火箭发动机的系统简图。其基本工作原理为:液氧和煤油分别由液氧泵和煤油泵进行增压,液氧泵出口的全部液氧和煤油泵出口的一小部分煤油进入预燃室燃烧,产生中等温度的燃气,这些燃气在涡轮中膨胀做功,然后流入燃烧室与剩余的煤油第二次燃烧(这就是“补燃”这个名字的由来),产生高温的燃气,高温的燃气在喷管中膨胀加速,从而产生推力。
对于这种发动机来说,预燃室和燃烧室之间的燃气管道存在熵波(如图5中的紫色箭头所示),而且这种熵波对于发动机的动力学特性有着独特的影响。例如,当预燃室的煤油供应管路上的控制阀的开度发生变化的时候,进入预燃室的煤油流量发生变化,从而导致预燃室的氧燃比发生变化,进而使预燃室燃烧温度发生变化,这引发了燃气管道中的熵波,它的传播速度等于燃气管道中的燃气流速(而不是声速),因此需要经过比较长的延时之后,燃烧室才能感受到这种扰动。对于发动机控制系统的设计者而言,他/她最关心的问题之一就是从控制阀开度扰动到燃烧室压力扰动的传递函数,而显然这个传递函数中必须考虑上述熵波的影响。

 

熵波:流体中的另一种波

5  RD-191发动机系统简图

 

熵波:流体中的另一种波

6  RD-191发动机照片。前苏联和俄罗斯自上世纪70年代以来研制的一系列采用液氧和煤油作为推进剂的补燃液体火箭发动机,如RD-120RD-170RD-180RD-191等等,一直以来代表了全世界液氧-煤油火箭发动机的最高水平。例如RD-191的燃烧室压力高达25.8MPa,海平面比冲高达310.8s,比SpaceX的猎鹰9号上用的Merlin-1D发动机的比冲还要高出10%。由于性能优异,RD-180卖到了美国,在“宇宙神-5”火箭上使用;RD-191则卖到了韩国,在“罗老”火箭上使用。此外,中国在RD-120的基础上研制了YF-100,在“长五”火箭上使用。

 

 

最后说明一下,流体中除了声波、熵波之外,其实还有一种“涡波”,不过涡波只在二维、三维流动中才能体现出来,在一维流动中并不能体现出来,所以前面的管道内一维流动的模型并没有对涡波进行分析。
北京航空航天大学宇航学院的研究生南家琦阅读了本文的初稿并提出了很好的修改意见,在此表示感谢。

参考文献

[1]  Aimee S. Morgans et al. The dissipation and shear dispersion of entropy waves in combustor thermoacoustics. J. Fluid Mech. (2013), vol. 733, R2, doi:10.1017/jfm.2013.448

[2]  Emmanuel Motheau et al. Mixed acoustic-entropy combustion instabilities in gas turbines. J. Fluid Mech.(2014), vol. 749, pp. 542-576.

[3]  Guoqing Wang et al. Experimental investigation of entropy waves generated from acoustically excited premixed swirling flame. Combustion and Flame 204 (2019) 85–102.

[4]  Ann P. Dowling and Simon R. Stow. Acoustic Analysis of Gas Turbine Combustors. JOURNAL OF PROPULSION AND POWER, Vol. 19,No. 5, September-October 2003

[5]  格列克曼. 液体火箭发动机自动调节. 顾明初 等译. 宇航出版社, 1994.

 

原文始发于微信公众号(流体那些事儿):熵波:流体中的另一种波

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