为什么湍流边界层速度分布比层流边界层复杂很多?

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大多数的流体力学教科书都会介绍,湍流边界层的速度分布划分为粘性底层、过渡区、对数区、尾流区等等几个不同的区域(如1),每一个区域采用不同的速度分布公式,而层流边界层则不会像这样细分为几个区域。这是为什么呢?

为什么湍流边界层速度分布比层流边界层复杂很多?

平板湍流边界层的典型结构。(复制自[1]

 

首先,我们必须明确一个概念,那就是,所谓“湍流边界层的速度分布”,是指湍流的时间平均速度的分布,而不是瞬时速度的分布。这是因为,湍流是一种高度非定常的流动状态,在湍流中,空间任一点处的速度都随时间不断地变化着。下面的视频用于进一步说明此问题。

视频1 一块平板,上下均有流体流过。板上方为湍流边界层,板下方为层流边界层。湍流边界层的速度分布,是指很多的时刻测得的速度分布的平均值。

 

明确了上述概念,我们就可以讨论湍流边界层速度分布与层流边界层速度分布的差异了。为了方便讨论,我们定义一下坐标系,如2所示,坐标原点在壁面上,x轴平行于壁面,y轴垂直于壁面。我们讨论的速度分布,是指随着y的变化,x方向的速度分量u的变化规律。

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坐标系定义

 

我们知道,边界层中的速度梯度du/dy导致了不同的y值处的流体之间存在速度差,这种速度差导致不同的y值处的流体之间存在切应力(3)。

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不同的y值处的流体之间存在速度差

 

所以,边界层中的速度分布与边界层内的切应力是密切相关的。湍流边界层的速度分布之所以比层流边界层的速度分布复杂,其根本原因就在于,湍流边界层中有两种切应力,而层流边界层中只有一种切应力
层流边界层中,不同的y值处的流体之间只存在由于分子不规则运动的动量交换以及分子间吸引力而产生的切应力,称为粘性应力,这种切应力满足牛顿内摩擦定律,即切应力正比于速度梯度,其比例系数是流体的粘性系数μ:

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湍流边界层中,情况就复杂多了。首先,湍流边界层中也存在粘性应力,这一部分切应力仍然满足牛顿内摩擦定律。然而,湍流边界层中还存在另一种切应力。如下面的视频所示,湍流中的流体微团在空间和时间上高度无规则地运动着,发生强烈的速度脉动和动量混合。简单来说,如果在湍流边界层中选取两个不同的y值,那么可以发现,不断地有流体微团从第一个y值处转移到第二个y值处,同时又不断地有流体微团从第二个y值处转移到第一个y值处,这导致这两个y值处的流体之间有着很强的动量交换。这种动量交换其实就相当于两个流体层之间存在切应力。这种切应力被称为雷诺应力

视频2 在超级计算机上使用直接数值模拟的方法对NACA4412机翼上的流动进行计算的结果,以动画的形式展示了湍流边界层中的涡结构。视频来源:美国物理协会APS Gallery of fluid motion 2015

 

湍流边界层中的这两种切应力的相对大小并不是一成不变的。在湍流边界层中最靠近壁面的那一部分里面,由于固体壁面的无滑移、无穿透条件,对流体微团的不规则运动产生了很大的抑制,因此在这一个部分里面,雷诺应力是远远小于粘性应力的。反之,在湍流边界层中远离壁面的那一部分里面,流体微团的不规则运动不受壁面的抑制,又因为流体微团的不规则运动带来的动量交换效应要远远强于分子不规则运动带来的动量交换效应,所以在这一部分里面,雷诺应力远远大于粘性应力。
湍流边界层中的典型的切应力分布和速度分布如4所示。

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湍流边界层中的典型的切应力分布和速度分布。(a)切应力分布,其中τlam是粘性应力,τturb是雷诺应力;(b)速度分布。复制自[2]

 

因此,如4b),湍流边界层中存在三个性质不同的亚层:
1)在最靠近壁面的亚层里面,粘性应力远远大于雷诺应力。这一层被称为“壁面层”(wall layer);
2)在最远离壁面的亚层里面,雷诺应力远远大于粘性应力。这一层被称为“外层”(outer layer);
3)在壁面层和外层之间,粘性应力和雷诺应力都比较重要,这一层称为“重叠层”(overlap layer)。
文章开头提到的湍流边界层速度分布公式(1),正是在这些认识的基础上建立起来的。这部分工作主要完成于20世纪2030年代,其中贡献比较大的几位科学家,有路德维希·普朗特,西奥多·冯·卡门,克拉克·布兰卡德·米利根,以及杰弗里·英格拉姆·泰勒爵士等。不得不提一下,湍流边界层速度分布公式之所以在20世纪30年代得以建立起来,和这一时期实验手段的进步是分不开的。这一时期,热线风速仪技术的进步使得人们得以仔细地测量湍流边界层内部的速度分布,从而可以对理论进行验证。

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路德维希·普朗特(Ludwig Prandtl1875-1953),德国物理学家。他提出了边界层理论,被誉为现代流体力学之父。

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西奥多·冯·卡门(Theodore von Kármán1881-1963),美籍匈牙利数学家、航空工程师、物理学家。他在空气动力学领域(特别是在超声速、高超声速流动方面)有很多里程碑性质的工作。我国著名科学家钱伟长、钱学森、郭永怀都是他的亲传弟子。

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克拉克·布兰卡德·米利根(Clark BlanchardMillikan1903-1966),美国物理学家。他曾在加州理工担任航空工程教授。同时,他是美国国家工程院的创始成员之一。

 

下面简要叙述一下这几位科学家的思路。首先,在“壁面层”,由于粘性应力占主导地位,所以普朗特推断,速度u只是粘性系数μ、壁面切应力τw、流体密度ρ、壁面粗糙度K以及坐标y的函数,而与边界层厚度、沿着流动方向的压力梯度等没有关系:

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通过量纲分析可以知道,这意味着“壁面层”的速度分布规律可以表示为三个无量纲数u+K+y+之间的关系

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其中

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公式3被称为壁面律law of the wall)。关于壁面律,读者可能一下子不能理解透彻,这里再解释几句。正如前面所提到,壁面律的本质就是,认为在“壁面层”中,速度u只是粘性系数μ、壁面切应力τw、流体密度ρ、壁面粗糙度K以及坐标y的函数,而与边界层厚度、压力梯度等没有关系。我们举一个例子,如8,有两根内壁完全光滑(为了简化,我们暂不讨论粗糙度的影响)的管子,其中的流体是水。两根管子的直径不同,但是我们通过适当调整两根管子的流速之间的关系,使得两根管子的壁面切应力相等。显然两根管子的边界层厚度是不同的我们知道,对于圆管中充分发展的湍流流动来说,边界层厚度就是管子的半径。既然两根管子的直径不同,那么其半径也必然不同)。另外,这两根管子的壁面切应力相等,但是管子的直径却不相等,那么管子中的压力梯度肯定是不一样的。但是,由于两根管子的壁面切应力τw相等,所以根据壁面律,两根管子的壁面层中的速度分布是一样的

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壁面律的解释。两根管子中的流体都是水,其密度为1000kg/m3,粘性系数为0.001Pa·s

 

细心的读者可以会提出一个疑问,为什么压力梯度对壁面层中的速度分布没有影响?的确,如果从流体力学基本原理来进行分析,这一点确实是有问题的。如9,我们把8的管子中的壁面层放大,然后取红色虚线所示的控制体,通过分析控制体的动量守恒可以很容易看出,如果根据动量守恒原理的话,沿着流动方向的压力梯度对于壁面层中的速度分布是有影响的。所以说,“壁面律”其实并不是严格地从流体力学基本原理推导出来的规律,它只是普朗特的一种推断而已,但是,与实验测量结果对比后却发现,壁面律与实验结果符合得很好。

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压力梯度对壁面层速度分布的影响

 

顺便提一句,“壁面律”里面的无量纲参数y+就是很多计算流体力学软件里面描述近壁层网格尺寸要求所采用的那个参数。
接下来再看“外层”。在外层,由于雷诺应力占主导地位,所以冯·卡门推断,速度u与主流速度U(即边界层外的流速)的差是边界层厚度δ、壁面切应力τw、流体密度ρ、沿着流动方向的压力梯度dp/dx以及坐标y的函数,而与流体的粘性系数无关(这个好理解,因为雷诺应力与粘性系数没有直接关系):

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通过量纲分析可以知道,这意味着“外层”的速度分布规律可以表示为三个无量纲数Π1、Π2、Π3之间的关系

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其中

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方程9被称为外层的速度亏损律。之所以叫“亏损”,是因为公式10的分子并不是速度u本身,而是速度u偏离主流速度U的程度,而由于速度u总是小于主流速度U,所以这种偏离可以理解为对主流速度的一种“亏损”。
同样地,与实验测量结果对比后发现,速度亏损律与实验结果符合得很好。
至于“重叠层”,目前流体力学界普遍认可的是米利根所提出的理论。米利根认为,既然重叠层是壁面层和外层的衔接,那么在重叠层中,壁面律和速度亏损律应该同时成立。他通过数学推导(推导过程详见[3][4])发现,要让壁面律和速度亏损律在重叠层同时成立,则重叠层的速度分布只能是按对数规律变化:

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其中κB都是通过实验结果进行标定的待定常数。方程13被称为重叠层的对数律。与实验测量结果对比后发现,对数律与实验结果符合得很好(10)。

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10  湍流边界层速度分布的测量数据。可以看出,当横轴采用对数坐标,纵轴采用线性坐标时,实验曲线上有很明显的一段直线段,这证明了米利根的重叠层对数律的正确性。复制自[7]

 

值得指出的是,关于重叠层的速度分布,普朗特和冯·卡门其实也各自也有一套理论(普朗特的混合长度理论;冯·卡门的相似性理论[1]),其结果也是得到重叠层的速度应该按照对数规律变化的结论。不过,目前流体力学界还是最认可米利根的理论。
从上面的介绍可以看出,现在我们的教科书上关于湍流边界层速度分布的“理论”,其实并不是严格地从流体力学基本原理推导出来的理论,而只是从实验中总结出来的规律而已。因此,随着更多更精细的实验的进行,随着人们对于湍流的认识的进一步深入,湍流边界层速度分布的“理论”也在逐步改进,不可避免地,会有一些旧的认识被推翻,一些新的认识建立起来
例如,过去人们长期认为对数律(方程13)中的待定常数κ(被称为“冯·卡门常数”)是普适的,也就是说,无论对于圆管流动的湍流边界层,还是对于槽道流动的湍流边界层,还是对于平板湍流边界层,还是对于其它任何形式的湍流边界层(弯曲壁面上的湍流边界层、飞机表面的湍流边界层……),冯·卡门常数的数值都是相同的。从20世纪60年代到21世纪初这几十年间,绝大多数流体力学教科书上都都赫然印着冯·卡门常数的数值是“κ=0.41”。但是,最近二十多年以来,随着实验手段的改进,湍流边界层实验的雷诺数范围和过去相比有了很大提高,人们开始发现,其实冯·卡门常数并不是普适的[8],就目前所掌握的数据来看,对于圆管流动,应取κ=0.42;对于零压力梯度边界层,κ的值在0.38到0.39之间;而对于槽道流动,κ的值在0.37到0.39之间。至于更复杂的流动中,κ的值应该怎样取,目前还远远没有解决。冯·卡门常数的这种不确定性的发现,对于CFD领域的冲击是很大的。这是因为,现有的绝大多数湍流模型,在近壁处理中都用到了“重叠层的速度分布按照对数规律变化”这一假设。据分析,对于一架现代喷气客机(例如波音787或者空客A350)来说,如果在CFD计算中,将冯·卡门常数减小2%,那么计算得到的总阻力将会减小1%[11]。飞机制造商在推销一款正在研制的飞机的时候,当然会选择用较小的冯·卡门常数来计算飞机的阻力。但是,真实情况谁知道呢?
 墨尔本大学的研究生刘丽媛阅读了本文的初稿并提出了很好的建议,作者在此表示感谢。

 

原文始发于微信公众号(流体那些事儿):为什么湍流边界层速度分布比层流边界层复杂很多?

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