利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

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在科学技术各领域中,有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。在物理专业的力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。偏微分方程,再加上边界条件、初始条件构成的数学模型,只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的发展,采用数值计算方法,可以得到其数值解。

下面的几个简单例子,将为大家介绍如何利用Matlab中的PDE工具箱进行偏微分方程的求解!

抛物线型

受热金属块的热传导问题:

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

一块受热的有矩形裂纹的金属块。金属块的左侧被加热到100℃,右侧热量则以恒定速率降低到周围空气的温度,所有其他边界都是独立的,于是边界条件为:

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

初始温度为0℃。指定起始时间为0,研究5s的热扩散问题。

求解结果如下:

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

具体步骤:

  1. 建模。先画一个起点为(-0.5,-0.8),终点为(0.5,0.8)的矩形,再建另一个矩形,起点(-0.05,-0.4),终点(0.05,0.4),然后在设置公式中输入R1-R2;

  2. 设置边界条件;

  3. PDE中设置参数,d=1,c=1,a=0,f=0;

  4. 初始化网格并细化一次;

  5. 在Solve Parameter中,设置u0=0,时间为[0:0.5:5],然后求解。

注意到金属块的温度升高很快,可试着改变时间列表的表达式为logspace(-2,0.5,20)以便观察。

双曲线型

方形薄膜横向波动问题(波动方程)

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

薄膜左侧和右侧固定(u=0),上端和下端自由:

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

满足边界条件的初值为:

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

求解结果如下:

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

具体步骤:

  1. 建模,画出起点(-1,-1),终点(1,1)的矩形;

  2. 确定边界条件;

  3. PDE Specification对话框中选择双曲线型,参数设为c=1,a=0,f=0,d=1;

  4. 初始化网格,并细化一次;

  5. 在Solve Parameters对话框的时间中输入linspace(0,5,31),u的初值为atan(cos(pi/2*x)),一次偏导的初值为3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y)),然后求解。

本征值型

L形薄膜的特征值和特征函数:

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

计算所有特征值<100的特征模式,边界上为u=0。

结果中的两种模态如下:

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

具体步骤:

  1. 建模,如上图;

  2. 边界条件使用默认即可;

  3. 初始化网格并细化两次;

  4. PDE对话框中选择Eigenmodes,参数使用默认值c=1,a=0,d=1;

  5. 在Solve Parameter对话框中,输入特征值搜索范围,使用默认值即可[0 100],然后求解。

非线性问题

单位圆盘的最小表面问题:

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计算域为单位圆盘,边界条件为

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本问题为非线性问题,不能用常规的椭圆型方程求解器进行求解,而需要使用非线性求解器pdenonlin。

结果如下:

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

具体步骤:

  1. 画出单位圆;

  2. 选择所有边界,在Boundary Condition对话框中,设置r为x.^2,即定义边界条件Dirichlet条件u=x^2;

  3. 然后在PDE Specification对话框中,选择椭圆型方程,在c中输入1./sqrt(1+ux.^2+uy.^2);

  4. 初始化网格并细化一次;

  5. 求解前,选择Solve菜单中的Parameters选项,选择Use nonlinear solver选项,将容限参数设为0.001,然后求解。

利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

始发于微信公众号:声振之家

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