通向混沌的6种途径

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自发现混沌现象以来,研究最多的一个问题,就是考察系统在某一参数缓慢变化下,如何由普通稳态运动转变为混沌运动,简称为通向混沌的途径。以下扼要介绍几种已被人们认识的现象。

01

倍周期分岔进入混沌

一个系统,在一定条件下,经过周期加倍,会逐步丧失周期行为进入混沌,如图1。这种通向混沌的途径,非常普遍地存在于各种非线性动力系统中。由于这是最早发现通向混沌的一条途径,因而得到了深入的研究。

通向混沌的6种途径,你都掌握了吗?

图1 倍周期分岔通向混沌

02

阵发混沌进入混沌

阵发混沌是指系统从有序向混沌转化时,在非平衡非线性的条件下,某些参数的变化达到某一临界值时,系统会时而有序,时而混沌,在两者之间振荡。随着参数继续变化,不规则运动所占时间段越来越长,最后系统完全进入不规则运动,如图2。

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图2 阵发性混沌进入混沌

03

茹勒-泰肯道路

所谓茹勒-泰肯道路,就是指只要系统有三个以上的频率互相耦合时,系统就会出现混沌振荡,如图3。在这里“道生一,一生二,二生三,三生万物”的中国古老哲学思想,得到了意想不到的定量体现。

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图3 茹勒-泰肯道路通往混沌

04

概周期分岔

概周期振荡又称拟周期振荡、准周期振荡,是周期振荡的一种推广,具有某种近似周期振荡特性。随着控制参数的变化,系统陆续出现不动点、极限环、准周期二维环面,随即进入混沌状态,如图4。这是1975年D·吕埃勒和F·塔肯思提出的一种混沌发生机制。

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图4 概周期运动进入混沌

05

激变

激变是指混沌吸引子的数目或尺寸,在系统控制参数缓慢变化时发生跃变的现象。激变可以分为以下几类:

  • 边界激变:混沌吸引子突然出现或消失;

  • 内部激变:混沌吸引子尺寸突变;

  • 合并激变:多个混沌吸引子突然合并或一个混沌吸引子突然分裂,如图5。

产生激变的前提是系统同时具有混沌吸引子和鞍型不动点。

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图5 混沌鞍的合并激变

06

擦边分岔

若系统中含有碰撞、冲击、干摩擦等非光滑因素时,系统会存在向量场的不可微或间断性导致的强非线性和奇异性等特点。当系统参数变化时,系统周期运动轨线与非光滑分解面仅相交于一点,则当分界面本身光滑时相交点必然是相切点,这种分岔称为擦边分岔。随系统控制参数变化,周期运动与切换面擦边及失稳,并导致突发的混沌运动,如图6。

通向混沌的6种途径,你都掌握了吗?

图6 擦边分岔进入混沌

通向混沌的6种途径

始发于微信公众号:声振之家

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