一语道破傅里叶变换的本质

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一语道破傅里叶变换的本质

傅里叶变换的公式为:

一语道破傅里叶变换的本质

可以把傅里叶变换也成另外一种形式:

一语道破傅里叶变换的本质

可以看出,傅里叶变换的本质是内积,三角函数是完备的正交函数集,不同频率的三角函数的之间的内积为0,只有频率相等的三角函数做内积时,才不为0。

一语道破傅里叶变换的本质

下面从公式解释下傅里叶变换的意义

因为傅里叶变换的本质是内积,所以f(t)和一语道破傅里叶变换的本质求内积的时候,只有f(t)中频率为ω的分量才会有内积的结果,其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在一语道破傅里叶变换的本质上的投影,积分值是时间从负无穷到正无穷的积分,就是把信号每个时间在ω的分量叠加起来,可以理解为f(t)在一语道破傅里叶变换的本质上的投影的叠加,叠加的结果就是频率为ω的分量,也就形成了频谱。

傅里叶逆变换的公式为:

一语道破傅里叶变换的本质

下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义

傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程,在F(ω)和一语道破傅里叶变换的本质求内积的时候,F(ω)只有t时刻的分量内积才会有结果,其余时间分量内积结果为0,同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分,就是把信号在每个频率在t时刻上的分量叠加起来,叠加的结果就是f(t)在t时刻的值,这就回到了我们观察信号最初的时域。

对一个信号做傅里叶变换,然后直接做逆变换,这样做是没有意义的,在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉,然后再做逆变换,就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号,可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除,再做傅里叶逆变换,就得到了没有噪声的信号。

优点:频率的定位很好,通过对信号的频率分辨率很好,可以清晰的得到信号所包含的频率成分,也就是频谱。

缺点:因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加,所以,知道某一频率,不能判断,该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。

例子:

平稳信号:

一语道破傅里叶变换的本质

一语道破傅里叶变换的本质

傅里叶变换的结果:

一语道破傅里叶变换的本质

由于信号是平稳信号,每处的频率都相等,所以看不到傅里叶变换的缺点。

对于非平稳信号:信号是余弦信号,仍然有四个频率分量

一语道破傅里叶变换的本质

傅里叶变换的结果:

一语道破傅里叶变换的本质

由上图看出知道某一频率,不能判断,该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。

短时傅里叶变换

傅里叶变换存在着严重的缺点,就是不能实现时频联合分析。傅里叶变换要从负无穷计算到正无穷,这在实际使用当中,跟即时性分析会有很大的矛盾。根据这一缺点,提出了短时傅里叶变换。后来的时间—频率分析也是以短时傅里叶变换为基础提出的。

为了弥补傅里叶变换的缺陷,给信号加上一个窗函数,对信号加窗后计算加窗后函数的傅里叶变换,加窗后得到时间附近的很小时间上的局部谱,窗函数可以根据时间的位置变化在整个时间轴上平移,利用窗函数可以得到任意位置附近的时间段频谱,实现了时间局域化。

短时傅里叶变换的公式为:

一语道破傅里叶变换的本质

在时域用窗函数去截信号,对截下来的局部信号作傅立叶变换,即在t时刻得该段信号得傅立叶变换,不断地移动t,也即不断地移动窗函数的中心位置,即可得到不同时刻的傅立叶变换,这样就得到了时间—频率分析。

短时傅里叶变换的本质和傅里叶变换一样都是内积,只不过用一语道破傅里叶变换的本质代替了一语道破傅里叶变换的本质,实现了局部信号的频谱分析。

短时傅里叶变换的另一种形式:

一语道破傅里叶变换的本质

该式子表明在时域里一语道破傅里叶变换的本质加窗函数一语道破傅里叶变换的本质,得出在频域里对一语道破傅里叶变换的本质加窗一语道破傅里叶变换的本质

优点:在傅里叶变换的基础上,增加了窗函数,就实现了时间—频率分析。

缺点:短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数,窗函数一旦确定了以后,其形状就不再发生改变,短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率,则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可,但是对于非平稳信号,当信号变化剧烈时,要求窗函数有较高的时间分辨率;而波形变化比较平缓的时刻,主要是低频信号,则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。测不准原理告诉我们,不可能在时间和频率两个空间同时以任意精度逼近被测信号,因此就必须在信号的分析上对时间或者频率的精度做取舍。短时傅里叶变换受到测不准原理的限制,所以短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。在实际使用时,根据实际情况选用合适的窗函数。

例子:

原始信号:信号是余弦信号,有四个频率分量.

一语道破傅里叶变换的本质

当窗函数选为:

一语道破傅里叶变换的本质

短时傅里叶变换为:

一语道破傅里叶变换的本质

由上图可以看出,时域的分辨率比较好,但是频率出现一定宽度的带宽,也就是说频率分辨率差;

当窗函数选择为:

一语道破傅里叶变换的本质

短时傅里叶变换为:

一语道破傅里叶变换的本质

由上图可以看出,频率的分辨率比较好,但是时域分辨率差,有点接近傅里叶变换。由上图可以看到短时傅里叶变换的缺点。

一语道破傅里叶变换的本质

始发于微信公众号:声振之家

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